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Matemática 51
2024
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
5.
Hallar $f^{-1}(x)$. Dar dominio e imagen.
b) $f(x)=\ln(x)$
b) $f(x)=\ln(x)$
Respuesta
Primero hallemos la inversa. Acordate que podés hacer el cambio de variable al comienzo (y en ese caso despejar $y$) o al final (y en ese caso despejar $x$). Ambas formas son válidas, de hecho, son lo mismo, pero sé que hay profes que lo hacen de diferente forma, por eso te lo aclaro.
$
\begin{gathered}
y=\ln (x) \\
e^{y}=x \\
e^{x}=y^{-1}
\end{gathered}
$
Hallemos el dominio de la inversa:
No hay restricciones de dominio, por lo tanto,
$Domf^{-1} = \Re$
Hallemos la imagen de la inversa:
La imagen de la función inversa será el dominio de la función original, que por ser un logaritmo tenemos que plantear que el argumento debe ser mayor que cero:
$x>0$
$Imf^{-1} = Domf^{1} = (0 ;+\infty)$